位相と時間推移

参考文献 WEB

シミュレーティングで学ぶ　アナログ&ディジタルフィルタ入門小野浩司著日本工業新聞社

三角関数の基本

$y= A \sin(\omega \cdot t +\theta)$

ここで
$\omega = 2 \pi \cdot f = \frac{2\pi}{T}$ [rad/s]

つまり
$2 \pi$ のとき1ラジアンとなる。

$\theta$ [rad]は位相である。

いろいろな表現方法を確かめる

■表現を簡単にしたいとき

$y= A \sin(\omega \cdot t +\theta)$

■例
$y= A \sin(3 \cdot t +1)$

これだと、周波数も周期も分からない。
表記を簡単に示すときだけに使われる。

■周期を強調したいとき

$y= A \sin(\frac{2\pi}{T} \cdot t +\theta)$

■例
$y= A \sin(\frac{2\pi}{3} \cdot t +1)$

周期が3[s]であることが分かる。

■周波数を強調したいとき

$y= A \sin(2\pi f \cdot t +\theta)$

■例
$y= A \sin(6\pi \cdot t +1)$

周波数が3[Hz]であることが分かる。

Matlab ソース

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%正弦波の周波数 5Hz
f=5

%正弦波の周期 0.2s
T = 1/f

%サンプリング周波数250Hz サンプル周期0.004s
dt=1/250 

%周期は50点
num = T / dt

n=[0:1:2*num];

%信号波
omega=2*pi*f;

y=sin(omega*(n*dt));

plot(n,y,'r-','linewidth',2);
axis([-Inf Inf -Inf Inf]);
h=gca
set(h,'LineWidth',2,...,
'FontSize',15)

xlabel('Time','Fontsize',15);
ylabel('Amplitude','Fontsize',15)
title('Sin Wave');

print -djpeg sinwave.jpg

時間推移

時間軸方向への移動を時間推移と呼ぶ。

いま、
$y(t) = sin(\omega\cdot t)$
があると、

この正弦波波形を時間軸右方向へ $T_{shift} [s]$ だけ平行移動した式は、

$y_1 = y(t-T_{shift}) = sin(\omega(t-T_{shift}))$

右へ平行移動: $T_{shift} > 0$

この場合、 $T_{shift} = 0.5[ms]$ では、

$y_1 = y(t) = sin(2000\pi\cdot t$
$y_2 = y(t-0.0005) = sin(2000\pi\cdot (t-0.0005)$

となり、 y_2 は、 y_1 に対して右へ平行移動している。

y_2 は、0.0005秒後に y_1 の0秒時と同じになるので
0.0005秒遅れているとも言える。

$T_{shift} > 0$ 右へ平行移動: 遅れている
$T_{shift} \leq 0$ 左へ平行移動: 進んでいる

とも言える。

Matlab スクリプト　mysin_zikansuui.m

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dt=0.00001
num = 100

n=[0:1:2*num];
nn= dt.*n;

omega=2000*pi;
y1=sin(omega*(n*dt));

plot(nn,y1,'r-','linewidth',2);
axis([-Inf Inf -Inf Inf]);

grid on
hold on

y2=sin(omega*(n*dt-0.0005));

plot(nn,y2,'b--','linewidth',2);
axis([-Inf Inf -Inf Inf]);

h=legend('\it{y}\rm_1 = sin(2000\it{\pit}\rm)',...,
'\it{y}\rm_2 = sin(2000\it{\pi}\rm(\it{t}\rm-0.0005))',...,
1);

set(h,'FontSize',13);

h=gca
set(h,'LineWidth',2,...,
'FontSize',18)

xlabel('Time','Fontsize',18);
ylabel('Amplitude','Fontsize',18)

print -djpeg sinwave_zikansuii.jpg

位相とは？

$y(t) = sin( t+\frac{\pi}{2} )$ ここで、 $\theta=\frac{\pi}{2}$
y(t) = sin( t ) ここで、 $\theta=0$
$y(t) = sin( t-\frac{\pi}{2} )$ ここで、 $\theta=-\frac{\pi}{2}$

$\theta \geq 0$ のときは、正弦波は左にずれる、これを位相進み（進み位相)と呼ぶ。

$\theta < 0$ のｔきは、正弦波は右にずれる、これを位相遅れ（遅れ位相)と呼ぶ。

Matlab スクリプト mysin_isou.m

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dt=0.01
num = 250

n=[-2*num:1:2*num];
nn= dt.*n;

theta1= pi/2;
y1=sin((n*dt)+theta1);

plot(nn,y1,'r--','linewidth',2);
axis([-Inf Inf -Inf Inf]);

grid on
hold on

theta2= 0;
y2=sin((n*dt)+theta2);

plot(nn,y2,'b-','linewidth',2);
axis([-Inf Inf -Inf Inf]);

grid on
hold on

theta3= -pi/2;
y3=sin((n*dt)+theta3);

plot(nn,y3,'g--','linewidth',2);
axis([-Inf Inf -Inf Inf]);

h=legend('\it{\theta}= \pi \rm/2',...,
'\it{\theta} \rm = 0',...,
'\it{\theta}= -\pi \rm/2',...,
1);

set(h,'FontSize',13);

h=gca
set(h,'LineWidth',2,...,
'FontSize',18)

xlabel('Time','Fontsize',18);
ylabel('Amplitude','Fontsize',18)

print -djpeg sinwave_isou.jpg