微分@その1@微分とはなにか

参考文献及びWEB

参考文献

(1)「電気・電子工学のための数値計算法入門」橋本修著　総合電子出版社
(2)「ディジタル信号処理技術」玉井徳みち、長島厚、藤田泰弘、若井修造著日経BP社

参考WEB

http://szksrv.isc.chubu.ac.jp/java/physics/rlc/rlc0.html

http://www.asahi-net.or.jp/~jk2m-mrt/kiso_RLC.htm

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0

特に詳しい(ここを参考にすること)
http://www.cmplx.cse.nagoya-u.ac.jp/~furuhashi/education/CircuitMaker/chap1.pdf

http://www.akita-nct.ac.jp/~yamamoto/lecture/2003/5E/lecture_5E/diff_eq/node2.html

http://chemeng.on.coocan.jp/cemath/cemath08.html

http://homepage3.nifty.com/skomo/f6/hp6_3.htm

http://homepage1.nifty.com/gfk/rungekutta.htm

あわせて読む

(a) 微分の説明

微分方程式の解を求める

(b) 微分方程式の解を数値計算で求める

積分@その1@積分とはなにか

(d) 関数が微分の形 f'(x) の形で表されているときの積分値を求める

(一般的に数値積分をする意味は、関数自体が変化の式(例えば速度の関数)などで表されているとき
ある時刻から時刻までの距離を求めたいときなどで使用される。

もちろんその変化の式が、手計算によって計算可能ならば積分によって時間と距離の関係を導出し
その時間を入れることで直接距離を導いたほうが早い。

しかし、一般的に時間と距離の関係のような式自体が導出することが不可能な場合が世の中には多く
時間と速度の関係のような変化の式を見つけ出すことの方が容易なのだが、これを手計算で積分すること
は非常に難しいため数値積分が提案された)

数値計算@数値積分@台形法
数値計算@数値積分@シンプソン法
数値計算@数値積分@ガウスルジャンドル法

● 微分とは簡単にいうと何なのか？

微分とは簡単にいうと傾きである
ではそれを説明しましょう。

■ 速度=道のり/時間　を考える

図は横軸に時間を、縦軸に距離をとったグラフです。
時間が1[s]進むごとに1[m]ずつ進んでいることが直感的に分かります。

ではこのグラフから時間が分かると何[m]進むか数式で表してみます。

時間に何かをかけると距離になるといいですよね。
いま分かっているのは時間[s]と距離[m]だけです。

時間を距離に変換するには [m/s] * [s] = [m] ...(1)
つまり距離を時間で割ったものを何かにするとよいわけです。

この[m/s]の正しい関係が分かればよいわけですね。

いま、時間が2[s]進むと距離は2[m]進みますので、
距離を時間で割った傾き

2[m]/2[s] = 1[m/s] ...(2)

1[m/s]というものを時間にかけてやると距離が出ます。
小学生で習う問題です。

この距離[m]を時間[s]で割った傾きを速度[m/s]と言います。

いまこの問題では、傾きはどの区間でもとめても同じ1[m/s]となります。
この傾きがどの区間でも一定となるものを''線形''であるといいます。

■距離と速度、時間の関係を数式で表す。

速度が分かれば、

距離をy
時間をx
速度をa

とすると

y=ax

という式でこの３つの関係を表すことができる。いまa=1だから

y=x

となる。

◆線形についてもっと詳しく

ある入力 $f_1$t$$ を入力したときの出力を $g_1$t$$ とする。

別の入力 $f_2$t$$ を入力したときの出力を $g_2$t$$ とする。

2つの信号が同時に加えられた場合の出力は、それぞれの出力を単純に加算したものとなる場合
このシステムは''線形''であるという。

数式で表すと、

$f$t$=f_1$t$+f_2$t$$
なる入力が加えられるとき

$g$t$=g_1$t$+g_2$t$$

が成り立つ性質を線形性という。

上記のグラフでは、

x' =1[s]のときy' =1[m]
x''=3[s]のときy''=3[m]

なので、

x = x' + x'' = 4

のとき

y = y' + y'' = 4

となる。

距離は面積で表すことができる

一旦、速度が分かってしまえば、速度に時間をかければ距離になります。
それは、縦軸に速度、横軸に時間をとったときの面積の値と考えることができます。

たとえば、
0[s]から3[s]の間に進んだ距離は、

(1[m/s] x 3[s]) - (1[m/s] x 0[s]) = 3[m]

となり、

3[s]から5[s]の間に進んだ距離は、

(1[m/s] x 5[s]) - (1[m/s] x 3[s]) = 2[m]

となる。

■速度に線形性がなかったときはどう表せば良いのだろう？

では、速度に線形性、つまり速度が変化する場合はどうなるか？

図は4秒間で4[m]に到達しているので、速度は1[m/s]と表してよいだろうか？
最初の0から1秒間の間などはまったくといいほど進んでいない(速度0.000?[m/s])。
1秒から2秒の間ではいっきに2[m]くらい進んでいる(速度2.???[m/s])。
つまり時間において刻々と速度が変化している。

このようなモデルの速度はどのように表したらよいのだろうか？