微分@その4@線形常微分方程式

参考文献及びWEB

参考文献

(1)「電気・電子工学のための数値計算法入門」橋本修著　総合電子出版社
(2)「ディジタル信号処理技術」玉井徳みち、長島厚、藤田泰弘、若井修造著日経BP社
(3)「よくわかる有限要素法」福森栄次著 Ohmsha

参考WEB

http://szksrv.isc.chubu.ac.jp/java/physics/rlc/rlc0.html

http://www.asahi-net.or.jp/~jk2m-mrt/kiso_RLC.htm

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0

http://www.cmplx.cse.nagoya-u.ac.jp/~furuhashi/education/CircuitMaker/chap1.pdf

http://www.akita-nct.ac.jp/~yamamoto/lecture/2003/5E/lecture_5E/diff_eq/node2.html

http://chemeng.on.coocan.jp/cemath/cemath08.html

http://homepage3.nifty.com/skomo/f6/hp6_3.htm

http://homepage1.nifty.com/gfk/rungekutta.htm

あわせて読む

(a) 微分の説明

微分方程式の解を求める

(b) 微分方程式の解を数値計算で求める

積分@その1@積分とはなにか

(d) 関数が微分の形 f'(x) の形で表されているときの積分値を求める

(一般的に数値積分をする意味は、関数自体が変化の式(例えば速度の関数)などで表されているとき
ある時刻から時刻までの距離を求めたいときなどで使用される。

もちろんその変化の式が、手計算によって計算可能ならば積分によって時間と距離の関係を導出し
その時間を入れることで直接距離を導いたほうが早い。

しかし、一般的に時間と距離の関係のような式自体が導出することが不可能な場合が世の中には多く
時間と速度の関係のような変化の式を見つけ出すことの方が容易なのだが、これを手計算で積分すること
は非常に難しいため数値積分が提案された)

1階線型常微分方程式

$\frac{dx}{dt} = x$

この斉次方程式は、次のようにして解くことが出来る。
$x\,$ 　が恒等的に0 でないとき、方程式を変形して、

$\frac{dx}{x} = dt$
両辺を積分すれば、

$\int \frac{dx}{x} = \int dt$

$\Longleftrightarrow \ln |x| = t + c$

$\Longleftrightarrow x = \pm e^{t+c} = \pm e^c e^t$

ここで $C = \pm e^{c}$ とすれば、
この方程式の解は $x=Ce^t\,$ （は0を含む任意の実数）となる。

2階線型常微分方程式

$\frac{d^2 y}{dx^2} + a\frac{dy}{dx} + by=0$
y'' + ay' + by = 0

解の判定　２つの一次独立な解 y_1,y_2 があって一般解はそれらの一次結合となる。
(基本解　 C_1 y_1 + C_2 y_2 )

○一次独立性の判定

ロンキスアン
$\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} \neq 0$
が条件

ケース	基本解	一般解
①異なる2実根	$e^{t_1 x},e^{t_2 x}$	$C_1 e^{t_1 x} + C_2 e^{t_2 x}$
②重根	$e^{t_0 x},xe^{t_0 x}$	$(C_1 + x C_2)e^{t_0 x}$
③2虚根 $\alpha \pm i\beta$ (a,b実数)	$e^{\alpha x}\cos\beta{x}, e^{\alpha x}\sin\beta{x}$

例題1

y'' - 5y' +6y=0

t^2 -5t+6=0
(t-2)(t-3)=0
t=2,3
Ans. $C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}$

例題2

y'' +2y' +y=0

t^2 +2t+1=0
(t+1)^2 =0
t=-1
Ans. $C_1 e^{-x} + x C_2 e^{-x} =(C_1 + x C_2)e^{-x}$

例題3

y'' -2y' + 10y=0

t^2 -2t+10=0
$t = 1 \pm j\sqrt{9}$
$t= 1 \pm j3$
$\alpha=1, \beta=3$
Ans. $C_1 e^{x}\cos{3x} + x C_2 e^{x}\sin{3x}$

ベルヌーイの微分方程式

$\frac{dy(x)}{dx} + P(x)y(x)=Q(x)y(x)^{(n)}$ (3-1)

のような形の微分方程式をベルヌーイの微分方程式と呼ぶ。
ここで
n=0 のときは線形微分方程式
n=1以上のときは変数分散形
である。

例えば、

$x\frac{dy}{dx} + y = y^2 \log(x)$

は、

$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \frac{\log(x)}{x} y^2$

となるので
$P(x) = \frac{1}{x}$
$Q(x) = \frac{ \log(x) }{x}$
n=2

となる。

さて、式が

$\frac{dy(x)}{dx} + P(x)y(x)=Q(x)y(x)^{(n)}$ (3-1)

と表されているときは、

$u = y^{(1-n)}$ (3-2)とおいて
xとuの微分方程式におきかえる

(3-2)を微分すると
$u' = (1-n)y^{-n} y'$
$y' = \frac{1}{1-n} y^{n} u'$ (3-3)

(3-3)を(3-1)に代入すると

$\frac{1}{1-n} y^n u' + P(x)y = Q(x) y^n$
y^n u' + (1-n)P(x)y = (1-n)Q(x)y^n
$u' + (1-n)P(x)y^{(1-n)} = (1-n)Q(x)$
u' + (1-n)P(x)u = (1-n)Q(x) (3-4)

u' + (1-n)P(x)u = (1-n)Q(x) (3-4)
このようにベルヌーイの微分方程式は(3-4)式のように変数変換される。

[例題] $x\frac{dy}{dx} + y = y^2 \log(x)$

は、

$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \frac{\log(x)}{x} y^2$

となるので
$P(x) = \frac{1}{x}$
$Q(x) = \frac{ \log(x) }{x}$
n=2

となる。変数変換すると

u' + (1-n)P(x)u = (1-n)Q(x) (3-4)
$u' + (1-2)\frac{1}{x}u = (1-2)\frac{\log(x)}{x}$
$u' -\frac{1}{x}u = -\frac{\log(x)}{x}$ (3-5)

(3-5)式は
$\frac{du(x)}{dx} -\frac{1}{x}u(x) = -\frac{\log(x)}{x}$ (A-1)
と同じなので、

$-\frac{\log(x)}{x}$ が0のときの解をまず考える(過度解)

■ $\frac{du(x)}{dx} -\frac{1}{x}u(x) = 0$ ときの解

$\frac{du}{u} = \frac{dx}{x}$
両辺を積分すれば、

$\int \frac{du}{u} = \int \frac{dx}{x}$

$\Longleftrightarrow \ln |u| = \ln |x| + c$
$\ln |u| - \ln |x| = c$
$\ln |\frac{u}{x}| = c$
$\frac{u}{x} = \pm e^{c}$

ここで $C = \pm e^{c}$ とすれば、
この方程式の解は
$\frac{u}{x} =C\,$
u =Cx (A-2)

( は0を含む任意の実数）となる。

■ 定数変化法で、(A-1)の一般解を得る

(A-2)の積分定数Cをxの関数とすると

$du = x{\rm dC} + C{\rm dx}$ (A-3)

(A-3)を(A-1)に代入する

$\frac{(x{\rm dC} + C{\rm dx})}{dx} -\frac{1}{x}u(x) = -\frac{\log(x)}{x}$ (A-4)

(A-2)を(A-4)に代入する
$x\frac{{\rm dC}}{dx} + C -\frac{1}{x}Cx = -\frac{\log(x)}{x}$
$\frac{{\rm dC}}{dx} = -\frac{\log(x)}{x^2}$
${\rm dC} = -\frac{\log(x)}{x^2}{dx}$

両辺を積分すれば、

$\int {\rm dC} = -\int \frac{\log(x)}{x^2}{dx}$

$C = (\frac{\log(x)+1}{x})+ D$ (は0を含む任意の実数(積分変数)) (A-5)

■ 変数を元に戻す

(A-2)に(A-5)を代入すると
$u =(\frac{\log(x)+1}{x}+D)x$
$u = \log(x)+1+Dx$ (A-6)

$u = y^{(1-n)}$ (3-2)とおいて
$u = y^{-1}$ なので
$y = \frac{1}{\log(x)+1+Dx}$