近似とテーラー展開

近似

今、x=aのときの関数値f(a)が求められるとするとき、
変数がaからわずかに違う $x=a+\Delta x$ になったときの
$f(a+\Delta x)$ は？

$f(a+\Delta x) \approx f(a)+ (\frac{df(a)}{dx})\Delta x$

( f(a)が分かっているときf(a)と $f(a+\Delta x)$ を結ぶ直線をaにおける曲線の接線と等しいとみなす。)

1辺10cmの立方体が熱されて1辺が1mm伸びたときその体積は？

y=x^3

$10^3 = 1000 \rm{cm}^3$

$a=10 \Delta x = 0.1$

○近似式で解く

$\frac{dy}{dx} = 3x^2$

$y(10.1) = 1000 + 3(10)^2 \times 0.1 = 1030 \rm{cm}^3$

○正確な値は

$10.1^3 = 1030.301 \rm{cm}^3$

○誤差率は

$\sigma = \frac{ 1030.301 - 1030 }{1030.301} = 0.029%$

ある曲線は、近似を1次(直線),2次(曲線),3次...というように
無限個の近似曲線の集合によって、もとの曲線に近づけることができる。
これをテーラー展開という。

$f(a+x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}x + \frac{f''(a)}{2!}x^2 + \frac{f'''(a)}{3!}x^3 + \cdots$

$= f(a) +\sum^{\infty}_{n=1}\frac{f^{n}(a)x^{n}}{n!}$

$e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$
$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!}- \frac{x^4}{4!} +\cdots$