時間領域と周波数領域

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$\bf{\nabla}\times\bf{E} = -j\omega \bf{B} = -\frac{\partial \bf{B}}{\partial t}$ (1)

$\bf{\nabla}\times\bf{H} = j\omega\bf{D} + \bf{J} = \frac{\partial \bf{D}}{\partial t}+\bf{J}$ (2)

$\bf{D} = \varepsilon\,\bf{E}$ (3)

$\bf{B} = \mu \bf{H}$ (4)

$\bf{J} = \sigma \bf{E}$ (5)

ここで、

$\bf{E}$ は電界[V/m],
$\bf{H}$ は磁界[A/m],
$\bf{D}$ は電束密度 ${\rm [C/m^2]}$ ,
$\bf{B}$ は磁束密度 ${\rm [Wb/m^2]}$ ,
$\bf{J}$ は電流密度 ${\rm [A/m^2]}$

である。

一般にすべての媒質は、誘電体と磁性体で構成されている。
そしてそれらは全て空間上はテンソルとして表すことができる。

$\begin{array}{CC} B_{x} \\ B_{y} \\ B_{z} \end{array} \] = \[ \begin{array}{CC} \mu_{11}& \mu_{12}& \mu_{13}& \\ \mu_{21}& \mu_{22}& \mu_{23}& \\ \mu_{31}& \mu_{32}& \mu_{33}&\end{array} \] \[ \begin{array}{CC} H_x\\ H_y\\ H_z \end{array}$

テンソルは、媒質の空間においての性質を表します。

周波数分散性

媒質の性質は、大きくわけて

(1) 均質媒質(homogeneous medium)か不均質媒質(inhomogeneous medium)か
(2) 等方媒質(isotropic medium)か異方性媒質(anisotropic medium)か
(3) 分散性媒質(dispersive medium)か非分散性媒質(non dispersive medium)か
(4) 線形媒質(linear medium)か非線形媒質(non linear medium)か

の4種類に分けられる。

$\varepsilon,\mu,\sigma$ が、周波数により値が異なる場合、これを分散性媒質と呼ぶ。

時間軸上での

$\bf{B} = \mu \bf{H}$

は、周波数軸上では、

$\bf{B}(\omega) = \mu_{0}\mu_{r}^* (\omega)\bf{H}(\omega)$ (2-1)

となる。つまり周波数の関数となっている。

磁性体の複素比透磁率 $\mu_r^*(\omega)$ は,
周波数無限大(時間領域でいえば瞬間の時間）のときの比透磁率 $\mu_\infty$ と電気比感受率(分極率） $\chi(\omega)$ の和

$\mu_r^* = \mu_\infty+\chi(\omega)$ (2-2)

で表すことが出来る.

従って式(2-1)は,

$\bf{B}(\omega) = \mu_0\mu_\infty\bf{H}(\omega)+\mu_0\chi(\omega)\bf{H}(\omega)$ (2-3)

と表すことができる.
ここで $\bf{H}$ は磁界であり, $\bf{H}=(H_x,H_y,H_z)$ である.

式(2-3)の第２項の周波数領域の掛け算は,時間領域では

$\chi(\omega)\bf{H}(\omega) \Leftrightarrow\chi(t)\ast\bf{H}(t)$ (2-4)

のように畳み込み定理により時間領域に変換できる。

式(2-4)は,

$\chi(t)\ast\bf{H}(t) = \int_{-\infty}^{\infty}\chi(\tau)\bf{H}(t-\tau)d\tau$ (2-5)

で表すことができる.
つまり周波数領域の掛け算は、時間領域での畳み込みとなり、畳みこみを $-\infty$ から $\infty$ まで行ったものに等しいことがわかる。

したがって時間領域での式(2-3)は,

$\bf{B}(t) = \mu_0\mu_\infty\bf{H}(t)+\mu_0\int_{0}^{t}\chi(\tau)\bf{H}(t-\tau)d\tau$ (2-6)

となる.