フーリエ級数展開@複素数表示

参考文献及びWEB

参考文献

(1)「ディジタル信号処理技術」玉井徳みち、長島厚、藤田泰弘、若井修造著 日経BP社
(2)「ディジタル信号処理の基礎」三上直樹著 CQ出版
(3)「C言語によるディジタル信号処理入門」三上直樹著 CQ出版
(4)「アナログ&ディジタルフィルタ入門」小野浩司著 日刊工業
(5)「フーリエの冒険」ヒッポファミリークラブ
(6)「C言語で始める医用情報処理」小高知宏著 Ohmsha
(7)「量子力学の冒険」ヒッポファミリークラブ
(8)「最新ウェーブレット実践講座」戸田浩、章忠、川畑洋昭著 SoftBankCreative社

あわせて読む

フーリエ級数展開

フーリエ級数展開の式はこうでした。

 f( t+T) = f(t)

 f(t) = a_0+  \sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos n\omega t + b_n \sin n\omega t)(1-1)

ここで、

 a_{0} = \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t) dt(1-2)

 a_{n} = \frac{2}{T}\int_0^{T} f(t)\cos n\omega t dt n=1,2,\cdots(1-3)

 b_{n} = \frac{2}{T}\int_0^{T} f(t)\sin n\omega t dt n=1,2,\cdots(1-4)

意味:周期のある複雑な波f(t)は単純な波の足し合わせで表すことができる

複素級数展開の式は、

 f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n e^{in\omega t} (2-11)
 A_n = \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{-i n\omega t}dt n=1,2,\cdots (2-6)

となります。これを以下で説明します。

フーリエ級数複素数表示

オイラー公式

ではまずオイラーの公式を思い出してください。

 e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta
 e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta

この式を変形すると

 \cos\theta = \frac{ e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} (2-1)
 \sin\theta = \frac{ e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2} (2-2)

となります。
では f(t) を変形してみましょう。

 f(t) = a_0+  \sum_{n=1}^{\infty}\Big( \frac{a_n}{2} (e^{i n\omega t} + e^{-i n\omega t}) + \frac{b_n}{2i} (e^{i n\omega t} - e^{-i n\omega t}) \Big)

 = a_0+  \sum_{n=1}^{\infty}\Big( \frac{a_n}{2} e^{i n\omega t} + \frac{a_n}{2} e^{-i n\omega t} + \frac{b_n}{2i} e^{i n\omega t} - \frac{b_n}{2i}  e^{-i n\omega t} \Big)

 = a_0+  \sum_{n=1}^{\infty}\Big( \frac{1}{2}(a_n - ib_n)e^{in\omega t} + \frac{1}{2} (a_n + ib_n)e^{-in\omega t} \Big)  (2-3)


次にanを展開してみます。

 a_{n} = \frac{2}{T}\int_0^{T} f(t)\cos n\omega t dt n=1,2,\cdots(1-3)

 = \frac{2}{T}\int_0^{T} f(t)\frac{1}{2}(e^{i n\omega t} + e^{-i n\omega t}) dt

 = \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{i n\omega t}dt +  \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{-i n\omega t} dt (2-4)

次にbnを展開

 b_{n} = \frac{2}{T}\int_0^{T} f(t)\sin n\omega t dt n=1,2,\cdots(1-3)

 = \frac{2}{T}\int_0^{T} f(t)\frac{1}{2i}(e^{i n\omega t} - e^{-i n\omega t}) dt

 = \frac{1}{i}\Big( \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{i n\omega t}dt -  \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{-i n\omega t} dt \Big)

 ib_{n} = \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{i n\omega t}dt -  \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{-i n\omega t} dt(2-5)

まとめてみます。

 a_{n} = \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{i n\omega t}dt +  \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{-i n\omega t} dt (2-4)
 ib_{n} = \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{i n\omega t}dt -  \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{-i n\omega t} dt(2-5)

足し算 引き算をしあらたにA_n , B_nと名前をつけます。

 A_n = \frac{1}{2}(a_n -ib_n) = \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{-i n\omega t}dt (2-6)

 B_n = \frac{1}{2}(a_n +ib_n) = \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{i n\omega t}dt (2-7)

(2-3)に(2-6),(2-7)を代入すると

 f(t) = a_0+  \sum_{n=1}^{\infty}\Big( A_n e^{in\omega t} + B_n e^{-in\omega t} \Big)  (2-8)

 A_n = \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{-i n\omega t}dt (2-6)

 B_n = \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{i n\omega t}dt (2-7)


(2-8) f(t)を分解します。

 f(t) = a_0+  \sum_{n=1}^{\infty} A_n e^{in\omega t} + \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-in\omega t}  (2-9)

ここで第2項がn=0の時どうなるか見てましょう。

 A_0 = \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{0}dt = \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)dt = a_0

ということは?

 f(t) = \sum_{n=0}^{\infty} A_n e^{in\omega t} + \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-in\omega t}  (2-10)

となります。次にBnを見ています。増分に-を付けてみると

 f(t) = \sum_{n=0}^{\infty} A_n e^{in\omega t} + \sum_{n=-1}^{-\infty} B_{(-n)} e^{-i(-n)\omega t}
 f(t) = \sum_{n=0}^{\infty} A_n e^{in\omega t} + \sum_{n=-1}^{-\infty} B_{(-n)} e^{in\omega t}

ところでBnは
 B_n = \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{i n\omega t}dt (2-7)

なので
 B_{(-n)} = \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{-i n\omega t}dt = A_n

つまり、
 f(t) = \sum_{n=0}^{\infty} A_n e^{in\omega t} + \sum_{n=-1}^{-\infty} A_n e^{in\omega t}
 f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} A_n e^{in\omega t} (2-8)

で波が表されることが分かります。


A_nは,a_0 , B_nを含んでいるので、あらたにC_nと名づけましょう。
C_n = A_n です。

するとフーリエ級数展開式は

 f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n e^{in\omega t} (2-11)
 A_n = \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{-i n\omega t}dt (2-6)

となります。