フーリエ変換@基本

参考文献及びWEB

参考文献

(1)「ディジタル信号処理技術」玉井徳みち、長島厚、藤田泰弘、若井修造著日経BP社
(2)「ディジタル信号処理の基礎」三上直樹著 CQ出版
(3)「C言語によるディジタル信号処理入門」三上直樹著 CQ出版
(4)「アナログ&ディジタルフィルタ入門」小野浩司著日刊工業
(5)「フーリエの冒険」ヒッポファミリークラブ
(6)「C言語で始める医用情報処理」小高知宏著 Ohmsha
(7)「量子力学の冒険」ヒッポファミリークラブ
(8)「最新ウェーブレット実践講座」戸田浩、章忠、川畑洋昭著 SoftBankCreative社

あわせて読む

フーリエ級数展開

フーリエ級数展開の式はこうでした。

f( t+T) = f(t)

$f(t) = a_0+ \sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos n\omega t + b_n \sin n\omega t)$ (1-1)

ここで、

$a_{0} = \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t) dt$ (1-2)

$a_{n} = \frac{2}{T}\int_0^{T} f(t)\cos n\omega t dt$ $n=1,2,\cdots$ (1-3)

$b_{n} = \frac{2}{T}\int_0^{T} f(t)\sin n\omega t dt$ $n=1,2,\cdots$ (1-4)

複素級数展開の式は、

$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n e^{in\omega t}$ (1-5)
$C_n = \frac{1}{T}\int_0^{T} f(t)e^{-i n\omega t}dt$ $n=1,2,\cdots$ (1-6)

とでした。

意味:周期のある複雑な波f(t)は単純な波の足し合わせで表すことができる

なのですが,いろいろと疑問はあります。

疑問その1 周期がある波なら良いのですが周期のない波はどうやったら表せるのか？
疑問その2 周期のある波も長い間観察すれば周期がないかも知れない。

そこで周期が無限大の波を観察することにすれば、
周期がある波もない波も同じように
無限の周期がある波としてみることができるはずです。

ところで波は基本周波数の整数倍として表すことができました。
基本周波数は

$\Delta f = \frac{1}{T}$
基本周波数= 1/周期

で表すことができます。

その基本周波数
$\Delta f \times n$ 倍の各々の波が表せたわけです。

ところで今回は周期を無間大にするのですから $\Delta{f}$ は0に非常に近くなるはずです。

周期が決まっている場合は周波数は離散的(飛び飛びの値を取る)であったが
周期を無限大に取ると周波数(スペクトル)は連続になる。
つまり
周期が分からない(周期を無限と仮定した場合の)周波数領域への変換をフーリエ変換と言うのです。

今回学ぶフーリエ変換

$G(f) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i 2\pi f t}dt$ (2-2)
$f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} G(f) e^{i 2\pi f t}df$ (2-3)

を以下で求めてみる。

フーリエ変換を導びく

基本周波数を f_1 , 2番目の周波数を f_2 n番目を f_n とすると

$C_n = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)e^{-i 2\pi f_n t}dt$ $n=1,2,\cdots$ (1-6)

となります。

f_n は離散的な値(とびとびの値)です。(ようするに f_n と $f_{n+1}$ との間に空きがある)。
ここでを連続にすると周波数は連続になるのでと表して良いこととなる。

ここで
$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n e^{in\omega t}$ (1-5)

は

$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n e^{i 2\pi f t}$

となるからここに C_n を代入すると

$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \Big{ \frac{1}{T}\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i 2\pi f t}dt \Big}e^{i 2\pi f t}$ (2-1)

ここで $\frac{1}{T}$ は $\Delta f$ だったから

$f(t) = \lim_{T\to0}\sum_{n=-\infty}^{\infty} \Big{ \Delta f\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i 2\pi f t}dt \Big}e^{i 2\pi f t}$ (2-1b)

となる。
ここで $\lim_{T\to0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\Delta f$
の部分は積分となるので

$f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \Big{ \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i 2\pi f t}dt \Big}e^{i 2\pi f t}df$ (2-1c)

となります。
今カッコの中は、時間の積分となっていて、未知数はですから
つまり周波数の関数と見なせます。
そこで、 G(f) とすると

$G(f) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i 2\pi f t}dt$ (2-2)
$f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} G(f) e^{i 2\pi f t}df$ (2-3)

となり、 C_n に相当するところが G(f) となったわけです。
これで周期が分からなくても周波数成分を求めることができます(連続なスペクトルとして)。

これをフーリエ変換と言います。
そしてスペクトルからf(t)を求めることはフーリエ逆変換と言います。

実際にフーリエ変換を使ってみる

今、時間軸上でずーと1であるスペクトルを求めてみる。
ためしに周期が-ΔT/2～ΔT/2であるものとして計算する。
それ以外の領域は見えていないものとして0とする。

$G(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i 2\pi f t}dt$ (2-2)
$= \int_{-\frac{\Delta t}{2}}^{\frac{\Delta t}{2}} 1 \cdot e^{-i 2\pi f t}dt$
$= \Big[ \frac{-1}{i2\pi f} e^{-i 2\pi f t} \Big]^{\frac{\Delta t}{2}}_{-\frac{\Delta t}{2}}$
$= \frac{1}{i2\pi f} \Big( e^{i \pi f \Delta t} - e^{-i \pi f \Delta t}\Big)$
$= \frac{\Big( e^{i \pi f \Delta t} - e^{-i \pi f \Delta t}\Big)}{2i} \cdot \frac{1}{\pi f}$
$= \sin(\pi f \Delta t) \cdot \frac{1}{\pi f}$

となります。ここで公式

$\lim_{\theta\to0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1$

という公式を使います。

$G(t) = \frac{\sin(\pi f \Delta t)}{nf\Delta t} \cdot \Delta t$

つまりfが0に近づくときG(f)はΔtとなるわけです。Δtというのは観測する間隔でした観測する間隔を変えていったらスペクトルはどうなるかを見てみます。

図を見ると分かりますように周期Δtを長くすればするほどスペクトルは真値に近づきます。
つまりフーリエ変換の式は

「どんな複雑な波でも(たとえ周期がなくとも)単純な波一つ一つに分解できる」

だけでなく

「見る時間によってそれがどの位の確からしさでいえるかという不確定さまでも含む式」

なのでした。